Mot all intuition har flera nutida filosofer, som Newton da Costa och Graham Priest, tämjt paradoxer och skapat logiska system där motsägelser är tillåtna.
Tanken att något hade kunnat vara både sant och falskt samtidigt verkar helt absurd. Det är väl givet att ifall det finns ett äpple på bordet så kan det inte samtidigt inte finnas ett äpple på bordet, ifall du har ett husdjur så får vi inte påstå att du också inte har ett husdjur, och ifall jag fick underkänt på tentan så hade jag omöjligen kunnat få godkänt på samma gång. Trots denna intuition verkar det emellertid finnas goda skäl för att något kan vara fallet och samtidigt inte vara fallet, men för att kunna formalisera system där motsägelser är tillåtna behövs en speciell typ av logik.
Logiker (de vars sysselsättning omfattar logik) verkar prima facie hålla med om att något inte kan vara sant och falskt samtidigt. Inom klassisk logik finns det nämligen goda skäl att inte tillåta att påståenden kan vara både sanna och falska samtidigt. Låt oss börja med att se vad som händer ifall vi kommer fram till motsägande slutsatser från våra premisser. Säg att vi har tre (skilda) påståenden: låt oss kalla de för A, B och F. Från A och F kan vi härleda en slutsats som vi kallar för S. Men från B och F kan vi härleda slutsatsen ¬S (inte S). Om vi nu ska dra en slutsats från alla tre påståendena (A, B och F), så ser vi att något kommer att gå snett. Kommer vi få S eller ¬S? Inom klassisk logik utesluter S och ¬S varandra; de kan med andra ord inte vara sanna samtidigt. Därmed måste A och B (inom klassisk logik) härleda slutsatsen ¬F för att vi inte ska få några paradoxala slutledningar från våra påståenden.
Men vad skulle hända ifall vi började med premisser som är motsägelsefulla? Säg att vi har premisserna ”jag bor i ett vitt hus” och ”jag bor inte i ett vitt hus”. Låt oss även säga att vi har ett godtyckligt påstående som vi kallar för C, och antar ¬C. Från ”jag bor i ett vitt hus”, ”jag bor inte i ett vitt hus” och ¬C, kan vi härleda slutsatsen ”jag bor i ett vitt hus”. Men vi kan även, från samma mängd påståenden, härleda slutsatsen ”jag bor inte i ett vitt hus”. Vi har fått två motstridiga slutsatser från våra påståenden, vilket vi vet från föregående stycke, måste betyda: från ”jag bor i ett vitt hus” och ”jag bor inte i ett vitt hus” kan vi härleda ¬¬C (inte inte C), med andra ord C.
Vi ser att om vi arbetar inom ramen för klassisk logik, kommer motsägelsefulla premisser att leda till godtyckliga påståenden. Stor problematik uppstår dock när vi har premisser från vilka vi kan härleda vad som helst i vårt logiska system: mitt hus kan vara vitt, men om vi insisterar att det även inte är vitt kan vi härleda att jorden är platt, månen är en triangel, och allt annat vi möjligtvis kan komma på. Vårt system har blivit trivialt, och inga intressanta slutsatser kan påstås komma från det. Den här typen av härledning, från två motsägelsefulla premisser till ett godtyckligt påstående kallas för ex falso quodlibet (latin: ”från falskhet följer vad som helst”), eller explosion på engelska.
Att motsägelser bara leder till nonsens verkar ändå rimligt, både enligt ren intuition och det konventionella sättet filosofin har förstått logik. Detta traditionsenliga tankesätt började dock ifrågasättas under mitten av 1900-talet av sydamerikanska analytiska filosofer som utvecklade logik som tolererar motsägelser, logiska system där ex falso quodlibet inte gäller, så kallad parakonsistent logik.
Vi kan konstruera ett exempel på en parakonsistent logik genom att använda fler än bara två sanningsvärden. I en sådan konstruktion kan ett påstående P vara: sann, falsk eller båda (sann och falsk). För att kunna dra slutsatser genom den här typen av premisser låter vi sann och båda vara designerade värden. Att värdena är designerade innebär att en slutledning är giltigt ifall premisserna antingen är sanna eller båda, och slutsatsens är sann eller båda. Detta system, utvecklat av Graham Priest, kallas för LP (Logic of Paradox), och vi kan visa att ex falso quodlibet inte gäller i det: låt p vara båda och q vara falsk. Då gäller det att ¬p också är båda eftersom p är både sann och falsk. Vi ser att p och ¬p har designerade värden. Men q har inget designerat värde då q är falsk, och kan därmed inte vara en giltig slutledning från några premisser. Alltså gäller inte ex falso quodlibet.
Likt somlig analytisk filosofi, kan parakonsistent logik verka vara inget mer än en mödosam övning i invecklat tänkande. Men de här typen av system har en viss styrka i och med att de kan hantera motsägelser. Parakonsistens kan exempelvis användas för att undersöka de motsägelser som naturligt uppkommer i vårt vardagliga språk, så som ”jag ljuger just nu”, eller olika paradoxer som uppstår inom vissa matematiska teorier, som i Gödels ofullständighetssatser. Enligt den brasilianska filosofen Newton da Costa, vars arbete har lagt grunden för parakonsistent logik, behövs den här typen av logik för att analysera inkonsistenta matematiska system på ett nyanserat sätt. “We must construct new types of logic. (…) without the use of new logics, the inconsistent systems would lose their logico-mathematical importance”, uttryckte han år 1974.
Samtidigt som parakonsisten logik ger oss ett rigoröst och kontrollerat sätt att hantera motsägelser, kan det vara svårt att föreställa sig något som både stämmer och inte stämmer på en och samma gång. Givetvis verkar det hopplöst för mig att föreställa mig ett äpple på mitt bord som samtidigt inte är på mitt bord. Behovet av parakonsistent logik är delvis beroende på huruvida det kan finnas motsägelsefulla sanningar, men kan något verkligen vara sant och falskt på samma gång?
Skribent: Markus Mena